Descobertas fortalecem, instruções enfraquecem.
Por Bob & Ellen Kaplan

Já que objetivamos fazer todos se apaixonarem pelo trabalho matemático em todos os níveis da sofisticação matemática, pensamos que isso pode ser mais facilmente demonstrável se observarmos uma sala de aula de crianças de quatro a cinco anos de idade, iniciantes no Círculo da Matemática – nosso Círculo da Matemática, isto é, onde estudantes avançam juntos através de insights e invenções de provas em conversação colegial, não através de uma competição induzida que diminua a profundidade desta arte.

Pule introduções artificiais de “Qual é sua cor favorita” e “Quem é seu herói de beisebol”: eles podem ser mais jovens e menores que você, mas esses são seus colegas em aventuras futuras, então fale de início com eles de igual para igual.

“Oi, meu nome é Leslie, Você tem três amigos a mais para brincar e sua mãe fez um delicioso sanduíche para vocês dividirem, então ela quer cortar em partes iguais – (pausa, checar se eles chegam a “quatro”, apenas para ter certeza de que todos acompanham o raciocínio) – quatro partes iguais. Como ela deve fazer isso?”

Não desenhe um sanduíche ou um quadrado: isso são pensamentos, não trabalhos manuais, e os desenhos importantes virão logo. Você deve tomar várias sugestões das sete ou oito pessoas ali (não muito mais que isso, para uma boa conversa onde vocês todos tomem conhecimento das formas de pensar uns dos outros). Dê as boas vindas a todas as ideias, e agora faça um esquema com todas elas (não em diagramas geométricos, mas em desenhos que remetam ao pão).

Se a sugestão de cortar o sanduíche em quadrados não surgir, incentive a conversa em torno disso. Nota importante: nossa abordagem não é a mesma de Sócrates ou de Moore: não busque respostas de acordo com um esquema pré-ordenado, mas incentive o livre trânsito da invenção e o livre pensamento, considerando sempre as suas metas (elas podem mudar conforme os rumos inesperados da conversação).

Agora que você tem o seu desenho do sanduíche cortado em quadrados, pergunte por outras formas possíveis, estimulando a ideia de cortá-lo em diagonais – se essa ideia ainda não foi dada por ninguém. Uma vez que isso surja, desenhe o sanduíche cortado em quadrados e em diagonais mais uma vez, separados do resto, mas alinhados entre si, de tamanhos similares conforme você conseguir, e verifique com os alunos se esses desenhos estão igualmente bons.

O momento crítico chegou: desenhe abaixo do primeiro sua quarta parte em formato de quadrado e abaixo do segundo, um triângulo – com a face maior virada para baixo. “ Esse é o tipo de sanduíche que vocês adoram – qual pedaço vocês gostariam de comer?” Inevitavelmente, o triângulo será escolhido – “porque é maior.” A matemática começa agora.

É verdade? Vamos ver – “redesenhe cada forma abstrata de pão, agora em quadrados e triângulos geométricos (você pode sussurrar algo como “eu só estou fazendo isso para visualizar melhor”, mas uma digressão crucial espera pelo momento certo para acontecer, idealmente quando eles trazem a questão: estamos falando sobre pão ou formatos? Sanduíches de verdade ou de mentira?)

Pergunte novamente e provavelmente eles irão insistir: o triângulo é “maior”, “tem mais sanduíche nele do que na parte quadrada”. Pergunte o porquê e escute bem, registrando (mais para você do que para eles, já que eles provavelmente ainda não sabem ler) as ideias por trás de cada uma das respostas. Do “é apenas óbvio” ao “um dos lados do triângulo é maior”: você está percebendo como os olhos e a intuição espacial erroneamente generalizam medidas lineares e planas.

Atenção, curiosidade e vivacidade surgem com força: como, perguntam eles, você não enxerga isso? Como poderia haver dúvidas? Alguns poderiam se aproximar para tirar o giz da sua mão, para deixar mais claro. Conduza essa onda de intensidade, tanto ao seguir o declínio da conversa quanto ao iludi-los nessa direção errônea e frustrante, mas no fim frutífera: “maior”, “mais do que” – vamos entender do que estamos falando: dê um nome, mas não uma definição para “área”.

Incentive a conversação de tal forma a produzir formas compostas por unidades de pequenos quadrados (sugira você mesmo, se eles não sugerirem): agora um problema geométrico intratável tornou-se aritmético. É fácil cobrir o quadrado e contar os números, deixando-os tomarem a liderança de novo. Mas e o triângulo? Um quebra-cabeça feio e remendado de quadrados truncados ao longo das diagonais, que luta agora para que as peças se juntem e para finalizar a contagem. A matemática tem suas glórias, mas também suas derrotas, e chegamos apenas na primeira. Talvez não haja esperança; talvez não sejamos hábeis para fazê-lo, talvez nenhum ser humano consiga. Simulação na noção de aproximação, padrões de precisão pouco firmes, voos de fantasia, indefinição e truques.

Esse não é o problema imediato: não há limite de tempo, e pode continuar durante as próximas dez semanas, conforme a persistência e a atenção aumentarem. Retomem a energia, torne-se útil, comece tudo de novo. Talvez você precise tomar a liderança (ou com boa vontade interpretar equivocadamente uma sugestão na direção que você quiser): vamos separar essa linha de pensamento e tentar uma outra. E se nós movermos o quarto de quadrado para o triângulo, com as duas bases alinhadas, até que o lado vertical direito do quadrado coincida com a altura do triângulo desde sua base? (nesse estágio, se parecer correto, você pode até fornecer a eles recortes para brincar). E agora olhe: porque olhar leva a visualizar.

Ah! Agora o quadrado cobre apenas metade do triângulo, cuja metade direita fica descoberta – e alguém diz: “Eu sei que isto está errado, mas a metade exposta se encaixa na parte superior vazia em formato triangular do quadrado”. Todos falam de uma vez: corte, gire, levante e coloque lá! Cabe! Isso é loucura, mas há exatamente o mesmo espaço para cada parte! A glória da movimentação surge frente à certeza inicialmente frustrada.

Um grande insight – mas não a prova mais elegante. Tradução, dissecação, rotação e tradução novamente: podemos manter a percepção e simplificar o trajeto até ela? Deixe-os experimentarem, descartarem, descobrirem e julgarem quando forem incentivados a pensar de acordo com esta abordagem: não os incomode com o quadrado, apenas corte o triângulo ao meio, na reta de sua altitude e gire-o de modo que se transforme em um quadrado! A sofisticação matemática deles terá crescido durante o esforço aplicado para apreciar esta movimentação e também para apreciar a comparação subjacente do triângulo.

É agora, se não mais cedo, que a digressão importante da qual falamos pode surgir: ao cortarmos o pão, perdemos um pouco dela – quanto mais, a lâmina da faca torna-se mais fraca ou mais afiada. Como levar isso em consideração? Uma conversa sobre os objetos reais da matemática agora, sobre as formas abstratas que deixam o pão para trás, sobre tesouras mais pontudas do que facas, desenham linhas mais finas do que linhas cortadas, linhas ainda pouco visíveis em suas mentes. Isso será apenas uma das várias conversas desse tipo, um baixo instrumental imaginário para todas as músicas que vocês tocarão juntos, então não há necessidade de pressionar para além do que é satisfatório no presente.

Terminamos? Longe disso. Nós partimos da falsa ajuda oferecida pela aritmética em direção a cada vez mais pura geometria e estamos convencidos. Ainda assim, uma prova mais contundente, além da geometria, espera para surgir: uma prova reduzida à lógica transparente. Retome o enunciado de que sua mãe queria fazer quatro partes iguais para você e seus amigos comerem, e que vocês viram que ela poderia ter feito isso no mínimo de duas formas diferentes (talvez cortando em tiras verticais, ou citando exemplos sugeridos ao longo do percurso).

Se cada uma das maneiras sugeridas resultasse em quatro partes iguais, nenhuma delas teria mais do que a outra, não importando como as quatro partes foram repartidas? As formas nos distraíram: um quarto do todo será sempre um quarto do todo, independente da maneira que você reparte.

E agora estamos prontos para ir para um grande número de direções: cortes ondulados, de três dimensões, para entender a área e cobertura com quadrados unitários, integração… O Teorema de Bolyai-Gerwien , o Teorema de Dehn, simetrias e movimentações e grupos de pessoas no horizonte.

Dissemos que nossa abordagem não é Socrática, embora tenhamos falado em conversas atrativas, incentivadoras e sugestivas. Os estudantes fazem a escalada, nós damos os suprimentos e podemos alertar para as fendas nos momentos perigosos; não há um método fixo aqui, tudo pode ser uma resposta às personalidades e ao caráter do problema. O voo de alguém ocorre, conforme Wallace Stevens aponta, quando tem de ocorrer, e não se pode querer determinar o seu rumo. Um círculo de matemática é um trabalho arriscado, sua única rede de proteção é a confiança e empatia surgidas de troca de fluidos.

Aventuras!