Ellen: Somos importunados no mundo da matemática por dois mitos: o mito de que a matemática é enfadonha (vocês todos sabem o quanto isso é falso, ainda que isso seja tão difícil de dissipar), e o mito do talento. Mas este é um mito com o qual a maioria de nós está de acordo. Ele afeta como pensamos sobre a matemática e sobre os nossos estudantes, e afeta como ensinamos.

Uma vez que a matemática é nossa língua materna perdida, não há mais talento para ela do que há para a leitura – mas a adoração heroica de uns e o egoísmo infantil de outros mantêm o mito vivo. Encaremos ele diretamente.   

“Especialistas são criados, não nascem [especialistas]”, diz Philip Ross em seu artigo de agosto de 2006 na Scientific American, A Mente Especializada. “Leva aproximadamente uma década de trabalho duro para dominar qualquer campo”, ele escreve. Pesquisadores da mente especializada usam o xadrez a fim de quantificar seus resultados, e alguns de vocês podem pensar que a natureza combinatória do xadrez confirma tais resultados para a matemática. Outros pensam em uma matemática muito mais ampla do que a combinatória – mas as conclusões ainda se aplicam, pois o que ele relata faz muito sentido em qualquer campo.

Se, como parece provável, podemos manipular e manter em nossas mentes apenas cerca de sete parcelas de informação por vez, o domínio só pode vir de um armazenamento de hierarquias cada vez maiores nesses poucos pacotes compactos – e dez anos de um esforço enorme em qualquer campo fará isso. ‘Estudo trabalhoso’ é como eles chamam isto: “enfrentar continuamente desafios que estão um pouco além de sua competência”. Especialistas-em-treinamento, ele conclui, “mantêm a tampa da caixa de suas mentes aberta o tempo todo, para que possam inspecionar, criticar e argumentar sobre seus conteúdos e, desse modo, abordar o padrão estabelecido pelos líderes em seus campos de estudo.”

O que isso significa para nossa abordagem incomum de ensinar matemática no Círculo da Matemática – cujo espírito, assim esperamos, captura um pouco do maravilhoso calor humano e generosidade de Andrey Kolmogorov? De início, isso significa que nós aceitamos quem quer que se candidate – nenhum exame de entrada, nenhuma separação de uma suposta nata de qualquer grupo. Nosso único critério é que o estudante tenha que querer estar aqui – seja porque ela já ama matemática – seja talvez porque ele esteja assustado com ela, mas tenha ouvido que nossas aulas são divertidas. Curiosidade é passaporte suficiente para entrar na República da Matemática. Lembre-se do que Cantor disse uma centena de anos atrás: “Matemática é liberdade!” O que nós queremos é o que todos nós queremos: expandir o sufrágio a essa república, dar cidadania nela a tantas pessoas quanto possível: pois nela mentes encontram mentes em igualdade de condições e podem livremente inventar o seu caminho em direção à compreensão da bela estrutura das coisas.

Expandindo o sufrágio: isso pode apenas ser realizado fora das escolas, nos círculos de matemática? Por que isso não pode acontecer nas escolas, onde professores podem ter com uma turma inteira as experiências agradáveis que eles lembram de ter tido apenas com um ou outro estudante? Uma vez que o mito do talento está explodido, professores não terão mais que se esconder atrás da desculpa de que as falhas não eram sua culpa (“Você nunca viu um grupo tão sem remédio!”) – ao invés disso, eles podem tornar a matemática tão atraente como todas aquelas disciplinas cuja popularidade é superior – ciência, história, literatura – ao humanizá-la.

Isso não significa mostrar apenas os contextos histórico e biográfico sobre os quais repousa a matemática que eles estão estudando, mas realmente trabalhar nisso em conjunto: permitir que seus estudantes sintam a satisfação de mini-descobertas, ao menos. Não falar a eles de um pedestal a ladainha sem sentido de que a x b = b x a, mas deixá-los descobrir por si mesmos a excepcional economia de trabalho resultante do ardil de seguir sua tabela de multiplicação diagonal.

Será que isso demoraria muito em um mundo engrenado com o MCAS[1]? O que se inicia lentamente se acelera mais rápido do que minutos alucinados jamais conseguiriam e, além disso, deixa uma trilha na mente na qual se pode viajar novamente. Pois nossa espécie vive de curiosidade e floresce na inventividade. Nós subestimamos as crianças se pensamos que elas são feitas para a MTV ou para histórias obscenas; nós subestimamos a matemática se pensamos que qualquer recompensa valha mais do que suas próprias revelações.

Assim, em nosso Círculo da Matemática, nós não fazemos perguntas difíceis, nem colocamos os estudantes a competir uns contra os outros a fim de conseguir um vencedor pomposo e uma sala inteira de perdedores. Nós objetivamos deixar sua curiosidade livre em um mistério acessível – com uma daquelas questões que estão apenas um pouquinho além de suas competências, de modo que eles mergulhem nelas juntos, coloquialmente, tentando diferentes abordagens, redesenhando a questão, testando uma conjectura, refinando seus termos, desistindo de um insight e apreendendo um outro, esforçando-se para provar o mais provável e então dando um passo atrás para ver o que eles criaram – em resumo, fazendo matemática.

Bob: E para onde é que foi o enfado? Ele evaporou-se no entusiasmo; ele desapareceu, porque não está sendo dito a eles “o que é assim ou assado”, mas eles estão criando matemática por eles mesmos – novas trilhas para verdades universais. E você pode ver bem a sua confiança e a sua competência crescendo juntas. É por isso que nós tratamos todas as suas conjecturas como nós tratamos eles próprios: igualmente. Se eles partiram em um caminho errado, eles descobrirão isso em breve por eles mesmos – ou com mínimos empurrõezinhos de nossa parte.

Eu estava trabalhando com crianças de quatro anos nesse outono em nosso mistério semestral: existem números entre números? Eles haviam conjuntamente inventado metades e, posteriormente, terços, então descobriram como somar metades, e então terços (até o ponto de somar quatro desses terços, que todos concordaram ser bobagem, pois como poderia ser possível ter mais do que um todo?). Mas, inevitavelmente, eles encontraram-se perguntando: quanto era a soma de uma metade e de uma terça parte? Esse é um daqueles momentos onde o bote que transporta a sua autoestima está sucetível de deixar o navio da matemática para sempre. Eles arrastaram e rasgaram, até que muito sensatamente concordaram que a chave deveria estar nos quintos, visto que 2 + 3 = 5; e que a resposta era provavelmente 2/5.

Mas, por fim, uma alma valente parou por um instante de empurrar símbolos, o suficiente para perceber que 2/5 de uma torta aparentavam ser menos do que metade de uma torta, e que seria muito engraçado se ao final de uma adição acabássemos com menos do que quando iniciamos. Eu sugeri que isso poderia ser um problema para além dos poderes humanos, mas, frustados como eles estavam, eles não compraram essa explicação (crianças de quatro anos não tem nenhum senso de tragédia). “Coloquem eles juntos”, alguém disse – a metade e a terça parte. “Separe-os”, falou alguém contrariado. Assim, eles fizeram as duas coisas e a fênix de sextos surgiu das cinzas, ninguém soube bem ao certo como, e é claro que era 5/6, não sabíamos disso o tempo todo? Não sabíamos – e sabíamos: a experiência particular que nós todos tivemos de que o que não podíamos entender um minuto atrás é justamente agora – óbvio.

O mito da matemática como sendo enfadonha vem de ela ter sido enfiada goela abaixo em vocês. Como ela poderia ser enfadonha quando você está se esforçando para fazer Rumpelstiltskin dizer seu nome – e ele finalmente o diz?

Aqui é onde o aspecto mais incomum de nossa abordagem inicia: não dizer nada a ninguém. No início, colocamos uma questão que parece inofensiva e destinada a ser repondida nos próximos cinco minutos ou tanto, mas que curiosamente se estende mais e mais, até que, no curso de um semestre, nos encontramos sobre uma fronteira. Existem números entre números? O que é uma prova do teorema de Pitágoras – o que é uma outra prova – como pode haver mais do que uma prova? Existem menos números pares do que naturais? Você pode abrir uma ervilha com um número finito de cortes e recompô-la novamente de modo que ela seja maior do que o sol? Quais polígonos você pode construir com régua e compasso?

Damos um passo atrás e os deixamos ali. Às vezes fazemos o papel de um cético que precisa ser convencido; às vezes, uma audiência entusiasmada; e, às vezes, de um explorador companheiro, que pode apontar para uma clareira naquela direção e para areia movediça nessa – mas eles acertadamente sentem que inventar e descobrir estão em suas mãos.

Aqui um exemplo de como isso funciona, no curso que mencionei sobre o teorema de Pitágoras. Distribuímos uma prova diferente para cada um dos estudantes na primeira aula, e os fazemos comparar notas – uma comparação que eles continuam por e-mail, se eles quiserem, antes do próximo encontro (sem dever de casa – o envolvimento depende deles; mas a curiosidade inevitavelmente arrasta adiante uma “brincadeira de casa”). Na próxima aula, estamos prontos para nos dedicarmos a quaisquer problemas que uma ou mais dessas provas trouxerem – e podemos perguntar o que significa ter mais de uma prova do mesmo teorema – o teorema ainda é o mesmo se seu contexto mudou da geometria para a álgebra?

Estamos prontos a abrir portas, caso eles não estejam, perguntanto, por exemplo: você acha que o teorema é verdadeiro em três (ou mais) dimensões? Ou para figuras diferentes de quadrados sobre os três lados? Ou (se sentimos uma inclinação neles em direção à teoria dos números): você acha que pode haver outros trios de números inteiros diferentes do que (3, 4, 5) para os quais o teorema vale? – podemos encontrar (e então provar) algum padrão geral? Há um análogo, ou generalização, para triângulos não-retângulos? As aberturas são infinitas, pois qualquer coisa leva a tudo.

Ellen: O caminho nunca é regular em um curso do Círculo da Matemática, porque é tudo improvisação – há o risco e a emoção. Você tem de ganhá-los de sua timidez, de seu medo de cometer enganos, de querer concordar com o grupo, de buscar apenas satisfazer o professor e de tentar agradar seus pais ansiosos.

Mas há, então, os problemas pertencentes à própria técnica – não menos importante, o que acontece quando eles olham para provas publicadas ou técnicas estabelecidas: todo esse simbolismo repulsivo. Seguir o pensamento de outra pessoa lendo com cuidado e continuamente é difícil o bastante; agora você precisa catar caracteres subscritos e baixar expoentes e se esgueirar através daqueles sinais parecidos com alquimia, e abrir seu caminho através de uma floresta de símbolos, tropeçando em parênteses, com nenhuma palavra à vista. Mas como dizemos em nosso livro sobre nosso Círculo da Matemática, Fora do Labirinto: Libertando a Matemática (Out of the Labyrinth: Setting Mathematics Free), equações e fórmulas são as últimas palavras de uma piada que vêm ao final da história; você não tem a obrigação de compreendê-las no início.

Mas se você mesmo está fazendo os símbolos, para representarem o que você já compreendeu e que você gostaria apenas de aludir agora, enquanto leva o pensamento adiante, eles não mais barram o caminho, mas auxiliam em seu progresso. É por isso que encorajamos nossos estudantes a inventar seus próprios sinais e termos – é bastante fácil, posteriormente, mostrar a eles o que outras pessoas usam.

Os símbolos, todavia, são apenas o sinal exterior do que faz a matemática, tal como um diamante, tão difícil e bela: seu impulso em direção ao que é cada vez mais abstrato. Você achava que estava certo lá, junto à rocha da realidade, tentando compreender por que três pares de linhas conectando de modo cruzado dois trios de pontos sobre a circunferência de um círculo se encontram em três pontos que jazem, miraculosamente, sobre uma linha reta – e resulta que isso era apenas uma instância do que é verdadeiro para uma coleção maior de seções cônicas; e que o lar próprio da verdade não é, absolutamente, a Geometria Euclidiana, mas a Geometria Projetiva plana, em que ela é equivalente a seu teorema fundamental; e essa verdade não é outra, de fato, do que a propriedade comutativa da multiplicação! – E…

Não importa onde você esteja na matemática, parece haver sempre uma sacada sobre você, de cujo ponto de vista seus conhecimentos mais gerais se tornam particulares. Isso é intimidador? Ou isso é outra versão do que Hilbert chamou do Paraíso cujas portas Cantor abriu para nós? Algumas pessoas dão as costas e buscam, ao invés disso, escorregadores e escadas sobre os quais se lançam de um andar a outro, fazendo da matemática um saco de truques mágicos – como se fosse a idade média e você precisasse de uma frágil lista de fórmulas (adicionar zero – ou era a desgraça do lobo? – para curar problemas com seu numerador, e a raiz de mandrágora, ou raiz quadrada, para desfazer o Quadrático). Mas não são panaceias caseiras e medicina imaginária; é imaginação que queremos cultivar.

Assim, o que encorajamos, em nosso Círculo da Matemática, é esse tipo de imersão total no problema em questão que é tudo o que ele é. Esse é o tempo para o atemporal. Agora você pode tomar riscos – mas também lançar a aposta da precisão: pois você jamais pode ser ousado o bastante, tampouco ser cuidadoso o bastante. Aqueles com uma inclinação para o legal sentam próximos dos imaginadores descontrolados, e cada um, idealmente, aprende do outro e vive, a partir de então, com a dupla personalidade de um matemático.

Ora, esse tipo de imersão focada carece vitalmente de liberdade das pressões do mundo de testes e competição. Quanto mais intenso o pensamento é, mais ele precisa de lazer para apoiá-lo e rodeá-lo. Quem quer brigar com aqueles de quem você pode aprender alguma coisa? Quem quer um triunfo trivial sobre outra pessoa que por acaso está na sala, quando há a própria matemática para começar a ser compreendida: a conexão profunda escondida sob tantas relações superficiais; os emaranhados que sucumbem à técnica; e as ideias que exigem de imaginação para se revelarem.

Um espírito colegial não apenas deixa a matemática crescer, mas os matemáticos também, mantendo o que é da criança enquanto põe de lado o que é infantil. O que isso significa? Ter um olho inocente, uma expectativa ilimitada; deixar um espírito divertido solto e ser um jogo para a invenção mais audaciosa (uma especialidade para adolescentes rebeldes); estar pronto também para desistir de uma pista que se revela não funcionar, uma vez que a matemática, não seu pequeno ego, importa. Essa é a grande dádiva da infância: flexibilidade.

Mas as coisas infantis que queremos que nossos estudantes ponham de lado são o espírito de rivalidade e autoenaltecimento, que mancham as trocas com os colegas e rebaixam seus próprios prazeres à amargura e à rudeza. Esse sufocamento é seguidamente mal interpretado como um realismo adulto, em um mundo visto como uma luta até o fim.

Bob: Estudantes inevitavelmente se sentirão frustrados de tempos em tempos: a matemática, como a natureza, adora esconder a si mesma. Eles se sentirão rebaixados pela natureza das coisas, e em um dia escuro vão pensar sobre qual é, ao fim de tudo, o sentido disso. Mais do que mudar para problemas de curto prazo, como aqueles em concursos, que dão uma resposta rápida, ou que saltam com uma solução reconfortante (que levaria o ponto e o prazer embora, assim como sua liberdade: aqui está a resposta, estúpido – você não conseguia vê-la?), chamaremos sua atenção da forma mais discreta possível, e contaremos com a variedade de perspectivas na sala para tocar em uma nova combinação. Isso mantém a tampa da caixa de suas mentes aberta, de modo a poderem inspecionar, e criticar, e rearranjar seu conteúdo – até que uma figura surja de repente.

A vantagem de trabalhar colegialmente não é apenas o suporte psicológico quando as coisas ficam difíceis. Os pontos de vista também combinam, e na intensidade de toda essa atenção focada, a compreensão amadurece – uma vez que matemática é feita por humanos, para humanos, e descobertas nela sondam as profundezas de nossa língua materna, universal.

Essa é a grande conversa que tem ocorrido desde antes de Euclides, e que continua ininterrupta – uma conversa na qual somos, cada um de nós, tão felizes de aproveitar e de contribuir. Os inícios dessas conversas são problemas mal colocados, porque muito do que um matemático faz é retrabalhar uma questão até que a mínima abertura de uma resposta começa a abrir-se nela – e queremos que nossos estudantes trabalhem como matemáticos o fazem. Dez anos de imersão para atingir a maestria – talvez esse tempo possa ser abreviado por abordagens como essa. Ou ao menos começando com os bem novos, 6 + 10 é igual a 16, ao invés de 16 + 10 sendo 26.

No espírito dessa grande conversa, gostaríamos de deixá-los com um problema que foi, por duas vezes, tema durante um semestre em um curso do Círculo da Matemática para as idades de 11 a 13 anos. Você consegue ladrilhar um retângulo com quadrados não congruentes?

O que você quer dizer, ‘ladrilhar’? Ladrilhar fisicamente? Com argamassa? Podemos pôr os ladrilhos de modo torto – ou verticalmente – ou de forma sobreposta?

O sentido não é nosso, é de vocês – o que vocês gostariam?

E você quer dizer, ‘um retângulo’? Qual retângulo? Quantos retângulos? Qualquer retângulo? Alguns? E no que diz respeito aos quadrados?

Isso depende de vocês – escolham, e vejam para onde a escolha leva a conversa.

Mas e se alguns dos ladrilhos tiverem área negativa, i por i? E você não disse quantos ladrilhos – um número infinito?

Sua escolha. Matemática é liberdade – a mesma liberdade que vai alçar isso, e nós, para fora do labirinto.



[1] Massachusetts Comprehensive Assessment System.